Trójkąt Sierpińskiego

Sposób otrzymania

Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego. Fraktal ten można też utworzyć z trójkąta Pascala, zabarwiając na czarno nieparzyste jego liczby.

Definicja formalna

Niech T będzie trójkątem ABC.

• Dzieląc T na cztery mniejsze trójkąty T₁, T₂, T₃i S, gdzie środki krawędzi są wierzchołkami trójkąta S, traktując S jako zbiór otwarty, a trójkąty T_ii za zbiory domknięte, otrzymuje się zbiory rozłączne: S i T₁∪T₂∪T₃, Środki krawędzi leżą w dwóch małych trójkątach (np. T₁∩T₂ zawiera dokładnie jeden punkt – środek odpowiedniej krawędzi).
• Każdy trójkąt T_i i dzieli się na cztery mniejsze trójkąty T_i,1 T_i,2 T_i,3 S_i w podobny sposób.
• Każdy trójkąt T_i,j dzieli się na cztery mniejsze trójkąty T_i,j,1 T_i,j,2 T_i,j,3 S_i,j i tak dalej.