Zbiór Cantora

Definicja

Zbiór Cantora to odcinek [0, 1] z którego wycina się środką 1/3 części, a następnie wykonuje się to samo dla dwóch powstałych. W ten sposób w każdym kolejnym kroku liczba odcinków zwiększa się dwukrotnie, a zamalowana część odcinka maleje. Początkowo wynosi ona 1, potem 2/3, 4/9, 8/27 itd.

Podstawowe właściwości

Trójkowy zbiór Cantora:

  • ma moc continuum
  • jest zwartym zbiorem doskonałym (tzn. nie ma punktów izolowanych),
  • jest nigdziegęstym podzbiorem odcinka [0,1],
  • jest zbiorem miary zero (w sensie Lebesgue’a).